GAMES101 – 现代图形学入门笔记4：变换进阶

该课程是 GAMES 开设的现代计算机图形学课程，系统而全面的介绍：光栅化、几何表示、光的传播理论、动画与模拟。每个方面都从基础原理出发讲解到实际应用，并介绍前沿的理论研究。本文是其 4 章（进阶变换）的学习笔记。

1. 反向旋转

已知二维图形旋转 \theta 其变换矩阵为：

R_{\theta} = \left(
\begin{matrix} \cos{\theta}&-\sin{\theta}\\\sin{\theta}&\cos{\theta} \end{matrix} \right)
\tag{1}

使用同样的求法可知反向旋转相同角度时：

R_{\theta} = \left(
\begin{matrix} \cos{\theta}&\sin{\theta}\\-\sin{\theta}&\cos{\theta} \end{matrix} \right) \tag{2}

实际上，从定义上说正向和反向旋转时互逆的过程，而对于该类矩阵实际上其逆即为转置；转置等于其逆的矩阵在数学上称为正交矩阵（Orthogonal Matrix）。

2. 3D Transformations

3d 仿射变换

同样使用其次坐标定义：

• 3d point = (x, y, z, 1)^T
• 3d vector = (x, y, z, 0)^T

同样，对于 (x, y, z, w) (w != 0) 其值相当于 (x/w, y/w, z/w)，有：

\left( \begin{matrix} x’\\y’\\z’\\1 \end{matrix} \right) =
\left( \begin{matrix} a&b&c&t_x\\d&e&f &t_y\\g&h&i&t_z\\0&0&0&1 \end{matrix} \right) \cdot
\left( \begin{matrix} x\\y\\z\\1 \end{matrix} \right)
\tag{3}

也是先应用线性变换，再运用平移变换

缩放

S( s_x , s_y, s_z ) =
\left( \begin{matrix} s_x&0&0&0\\0&s_y&0&0\\0&0&s_z&0 \0&0&0&1 \end{matrix} \right) \tag{4}

平移

T(t_x, t_y, t_z) =
\left( \begin{matrix} 1&0&0&t_x\\0&1&0&t_y\\0&0&1&t_z\\0&0&0&1 \end{matrix} \right) \tag{5}

旋转

指定轴的旋转表示

对于 x 轴：

R_x(\alpha) =
\left( \begin{matrix} 1&0&0&0\\0&\cos{\alpha}&-\sin{\alpha}&0\\0&\sin{\alpha}&\cos{\alpha}&0\\0&0&0&1 \end{matrix} \right) \tag{6}

对于 y 轴：

R_y(\beta) =
\left(\begin{matrix}
\cos{\beta}&0&\sin{\beta}&0 \
0&1&0&0 \
-\sin{\beta}&0&\cos{\beta}&0 \
0&0&0&1
\end{matrix} \right) \tag{7}

对于 z 轴：

R_z(\gamma) =
\left(\begin{matrix}
\cos{\gamma}&-\sin{\gamma}&0&0 \
\sin{\gamma}&\cos{\gamma}&0&0 \
0&0&1&0 \
0&0&0&1
\end{matrix} \right)
\tag{8}

其中由于循环对称，使用右手定则容易注意到：

• for x-axis, y and z -> x
• for y-axis, z and x-> -y
• for z-axis, x and y-> z

  故而存在对 y 轴的旋转形式与其他轴旋转情况不同的结果。

旋转的组合

对于任意 3D 旋转可以拆分成多个不同轴的旋转的组合，称为欧拉角（Euler angles）。假设飞机航向为 y 轴正方向，常见称呼为：

• pitch 倾角，沿 x 轴旋转
• roll 翻滚，沿 y 轴旋转
• yaw 转向，沿 z 轴旋转

  其表示为：

  R_{xyz}(\alpha, \beta, \gamma) = R_x(\alpha)R_y(\beta)R_z(\gamma) \tag{9}

Rodrigues’ 旋转公式

任意旋转可以表示使用角度 \alpha 和轴 n 表示：

R(n, \alpha) = \cos(\alpha) I + (1 – \cos(\alpha) )nn^T + \sin(\alpha)\left(\begin{matrix}0&-n_z&n_y\\n_z&0&-n_x\\-n_y&n_x&0 \end{matrix} \right)
\tag{10}

• 对于不过原点的轴， 相当于将原点移动到轴上，旋转后，移动回去
• 式 10 的最右矩阵实际上是相当于使用轴进行叉乘

四元数的引入更多地为计算旋转和旋转之间的差值

3. 视图/摄影机变换

什么是视图变换？

考虑如何拍照：

1. 寻找一个地点并且准备被摄物体（模型变换）
2. 发现一个好的角度并且设置一个摄像机（视图变换）
3. 拍照（投影变换）

如何进行视图变换？

相机的定义：

• 位置 Position: \vec{e}
• 朝向 Look-at/gaze direction: \vec{g}
• 朝上 Up direction: \vec{t}

关键的观察：当相机和所有物体一起移动时，照片一样；可视为相机固定于原点，Y 为上，-Z 为朝向，所有物体相对于相机移动，减少了复杂度。

视图变换方法：

1. 变换到原点
2. g 旋转到 -Z
3. t 旋转到 Y
4. g 叉乘 t 旋转到 X

数学上的定义：

因此，视图变换可以分解为视图位移和视图旋转：

M_{view} = T_{view} R_{view}
\tag{11}

其中，视图位移易得：

T_{view} = \left( \begin{matrix}
1&0&0&-x_e \
0&1&0&-y_e \
0&0&1&-z_e \
0&0&0.& 1 \end{matrix} \right)
\tag{12}

若考虑将世界轴向摄像机轴移动，则有：

R_{view}^{-1} = \left( \begin{matrix}
x_{\vec{g} \times \vec{t} }&x_t&x_{-g}&0 \
y_{\vec{g} \times \vec{t} }&y_t&y_{-g}&0 \
z_{\vec{g} \times \vec{t} }&z_t&z_{-g}&0 \
0&0&0&1 \end{matrix} \right)
\tag{13}

由式 1 和式 2 得，摄像机轴向世界轴的移动为式 13 的非拓展部分转置，有：

R_{view} = \left( \begin{matrix}
x_{\vec{g} \times \vec{t} }&y_{\vec{g} \times \vec{t} }& z_{\vec{g} \times \vec{t} }&0 \
x_t&y_t&z_t&0 \
x_{-g}&y_{-g}&z_{-g}&0 \
0&0&0&1 \end{matrix} \right)
\tag{14}

模型变换和视图变换可以结合到一起，称为模型视图变换。

4. 投影变换

图形学中的投影

• 3D 到 2D 的变换
• 正交投影（Orthographic Projection）：
  • 平行线的延长仍然平行，用于工程制图
  • 假设相机离得无限远，远近切割平面大小相等
• 透视投影（Perspective Projection）：
  • 平行线的延长会相交，人眼的视角
  • 认为摄像机本身是一个点，将远处的较大切割平面投射到近处较小的切割平面

正交投影

简单的理解：

• 摄像机进行视图变换
• 移除 Z 轴（对于前后区分，若无透明度，可以最小正距离为准；否则以透明度公式计算）
• 移动并缩放结果到 -1 到 1 的矩形上（约定俗成，方便后续计算）

透视投影

透视投影概述

• 计算机图形学中最广泛使用的
• 近大远小

回顾：齐次坐标中，点的每个维度乘以任何一个非 0 相同值仍然表示同一个点

如何进行透视投影？

对于透视投影，设置远近平面，称为 frustum；对于正交投影，设置远近平面，称为 cuboid。有基本思路：

• 将 frustum 挤压（squish）成为 cuboid
• 进行正交投影

规定：

• 近平面永远不变
• z 轴不变
• 远平面中心点不变

挤压变换，根据相似三角形得：

y^{’} = \frac{n}{z} y
\tag{16}

由齐次坐标同乘不变得：

\left( \begin{matrix} x\\y\\z\\1 \end{matrix} \right) \Rightarrow
\left( \begin{matrix} nx/z\\ny/z\\unknown\\1 \end{matrix} \right) \equiv
\left( \begin{matrix} nx\\ny\\unknown\\z \end{matrix} \right)
\tag{17}

则有转换矩阵为：

M_{persp \rightarrow ortho} =
\left( \begin{matrix}
n&0&0&0 \
0&n&0&0 \
?&?&?&? \
0&0&1&0 \
\end{matrix} \right)
\tag{18}

存在以下两个观察：

• 任何一个点在近平面上不会变化
• 任何点在远的平面上 z 不会变化

由以上观察 1 得：

M_{persp \rightarrow ortho}^{(4 \times 4)} \left( \begin{matrix} x\\y\\z\\1 \end{matrix} \right) \equiv \left( \begin{matrix} nx\\ny\\unknown\\z \end{matrix} \right)
\tag{19}

替换 z 为 n 时，有：

\left( \begin{matrix} x\\y\\z\\1 \end{matrix} \right) \Rightarrow
\left( \begin{matrix} x\\y\\n\\1 \end{matrix} \right) \equiv
\left( \begin{matrix} nx\\ny\\n^2\\n \end{matrix} \right)
\tag{20}

因此第三行必须有以下形式：

\left( \begin{matrix} 0&0&A&B \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x\\y\\n\\1 \end{matrix} \right) = n^2 \Rightarrow An + B = n^2
\tag{21}

由观察 2 得：

\left( \begin{matrix} 0&0&f&1\end{matrix} \right) \equiv \left( \begin{matrix} 0&0&f^2&f \end{matrix} \right) \Rightarrow Af + B = f^2
\tag{22}

由式 21 式 22 得：

\begin{aligned}
An + B &= n^2\\
Af + B &= f^2
\end{aligned}
\tag{23}

得：

\begin{aligned}
A &= n + f \
B &= -nf
\end{aligned}
\tag{24}